$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が，サイコロを$1$回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に$6$以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{A}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$がちょうど$2$回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がちょうど$3$回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の2人が，サイコロを1回ずつ交互に投げるゲームを行う．自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{A}$から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{B}$がちょうど1回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて$\mathrm{B}$が勝ちとなる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{B}$がちょうど2回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ．

サイコロを$n$回投げ，$k$回目に出た目を$a_k$とする．また，$s_n$を$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n 10^{n-k}a_k$で定める．

(1)$s_n$が$4$で割り切れる確率を求めよ．
(2)$s_n$が$6$で割り切れる確率を求めよ．
(3)$s_n$が$7$で割り切れる確率を求めよ．

次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．2個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(i) $X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．
(ii) $X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．
(iii) $X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．
\mon[$\tokeishi$] $X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2 \times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く． \\
\quad 以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,\ 0)$を出発点とする．

(1)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(3)$2$個のサイコロを$4$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．

次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．$2$個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(i) $X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．
(ii) $X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．
(iii) $X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．
\mon[$\tokeishi$] $X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2 \times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く． \\
\quad 以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,\ 0)$を出発点とする．

(1)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(0,\ 1)$にある確率を求めよ．
(3)$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．

$1$個のさいころを$3$回投げる試行において，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$，$3$回目に出る目を$c$とする．

(1)$\log_{\frac{1}{4}}(a+b)>\log_{\frac{1}{2}}c$となる確率を求めよ．
(2)$2^a+2^b+2^c$が$3$の倍数となる確率を求めよ．

$1$個のさいころを$n$回投げ，出た目の最大値を$X_n$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X_n$が$k$以下である確率$p_k$を求めよ．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(2)$X_n$が$k$である確率$q_k$を求めよ．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(3)$X_n$の期待値を$n=2$の場合に求めよ．
(4)$X_n$の期待値が$4.5$以上となる$n$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．

赤色，緑色，青色のさいころが各$2$個ずつ，計$6$個ある．これらを同時にふるとき，

(1)赤色の$2$個のさいころの出た目の数$r_1,\ r_2$に対し$R=|r_1-r_2|$
(2)緑色の$2$個のさいころの出た目の数$g_1,\ g_2$に対し$G=|g_1-g_2|$
(3)青色の$2$個のさいころの出た目の数$b_1,\ b_2$に対し$B=|b_1-b_2|$

とする．次の問いに答えよ．

(4)$R$がとりうる値と，$R$がそれらの各値をとる確率をそれぞれ求めよ．
(5)$R \geqq 4,\ G \geqq 4,\ B \geqq 4$が同時に成り立つ確率を求めよ．
(6)$RGB \geqq 80$となる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha^n+\beta^n-3^n$はすべての正の整数$n$について$5$の整数倍になることを示せ．
(2)$6$個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど$4$種類の目が出る確率を既約分数で表せ．