次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）

$1$個のさいころを$4$回投げるとする．

(1)出る目の積が$2$で割り切れる確率は$[キ]$である．
(2)出る目の積が素数になる確率は$[ク]$である．
(3)出る目の積が$12$になる確率は$[ケ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[ス]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x^2-y^2-z^2+2yz$を因数分解すると，$[ア]$となる．
(2)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値は$[イ]$である．
(3)$3$次方程式$4x^3-23x+39=0$の解は，$x=[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=4^x+4^{-x}-3(2^x+2^{-x})+2$の最小値は$[カ]$である．
(5)数列$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと$[キ]$である．
(6)$\displaystyle \frac{1}{2} \log_5 27,\ \log_{125}9,\ \log_5 \sqrt[4]{27}$のうち最大のものは$[ク]$であり，最小のものは$[ケ]$である．
(7)$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\alpha-\beta=-4$，$\alpha^3-\beta^3=-28$であるとき，$p=[コ]$または$[サ]$，$q=[シ]$である．
(8)$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出た目より大きい目が$2$回目に出る確率は$[ス]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．

正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．点$\mathrm{P}$は最初，頂点$\mathrm{A}$にあり，さいころを投げるたびに出た目の数だけ正五角形の頂点を反時計まわりに移動する．このとき，

(1)さいころを$1$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．

(2)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(3)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が初めて頂点$\mathrm{A}$に止まる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．

さいころ$1$個とコイン$6$枚を用意し，次のようなゲームを行う．まずさいころを投げ，次に出た目の数と同じ枚数のコインを投げる．結果として表の出たコインの数を得点とする．

(1)得点が$6$となる確率を求めなさい．
(2)得点が$4$となる確率を求めなさい．
(3)得点が$2$となる確率を求めなさい．

$3$個のさいころを同時に投げて得点を得るゲームをおこなう．$3$個のさいころのうち，最も大きな目が出たさいころを$1$個だけ，最も小さな目が出たさいころを$1$個だけ，それぞれ取り除き，残った$1$個のさいころの目を$C$とする．とくに，$3$個のさいころの目が一致するときは，その目が$C$である．$C \geqq 4$ならば得点を$C$とし，$C \leqq 3$ならば得点を$0$とする．次の問いに答えよ．

(1)得点が$6$となる確率を求めよ．
(2)得点が$5$となる確率を求めよ．
(3)得点が$4$となる確率を求めよ．
(4)得点の期待値を求めよ．

大小二つのさいころを同時にふって，出た目の値をそれぞれ$a,\ b$とする．領域
\[ y \geqq -\frac{x}{2}+a \quad \text{かつ} \quad (x-b)^2+(y-b)^2 \leqq b^2 \]
の面積を$S$とする．ただし，空集合の面積は$0$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle S=\frac{\pi b^2}{2}$となる確率$p_1$を求めなさい．
(2)$S=0$となる確率$p_2$を求めなさい．

$6$個のさいころを同時に投げるとする．以下の問いに答えよ．

(1)出る目がすべて異なる確率を求めよ．
(2)出る目のうち，奇数の目が$3$個となる確率を求めよ．
(3)出る目の和が$9$となる確率を求めよ．