次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_2$の値を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n$を$2$以上の整数とする．不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ．ただし，$p_1=0$とする．

$a,\ b$を実数とし，$2$次の正方行列を$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & b-1 \\
a^2-1 & b^2-1
\end{array} \right)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)行列$A$が逆行列をもたないような実数$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回振って出た目の数を順に$a,\ b$とおく場合を考える．このとき，行列$A$が逆行列をもたない確率を求めよ．ただし，さいころの$1$から$6$までの目の出方は，同様に確からしいものとする．

サイコロを$2$回続けて振って出た目の数を順に$a,\ b$とする．このとき，$3$次関数$f(x)=x^3-ax+b$について以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．

箱の中に赤球，青球，黄球，緑球が各$1$個ずつ入っている．この箱から球を取り出し，取り出した球の色をサイコロの$1$の面に塗り，球を箱にもどす．以下，同様の作業を繰り返し，箱から取り出した球の色をサイコロの$2$から$6$の各面に順に塗っていく．ただし，サイコロは立方体であり$2$つの面は辺を共有するとき「隣り合う」という．このとき次の問に答えよ．

(1)サイコロが$3$色で塗られ，かつどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
(2)サイコロのどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．

$6$枚のカードに，$1$から$6$までの番号がつけられている．どのカードも一方の面が白色，もう一方の面が赤色である．はじめに，すべてのカードの白色の面を上にして番号順に並べる．次の操作をくり返し行う．

$1$個のさいころを投げる．出た目の数が$x$であるとき，
$x$の約数である番号のカードをすべて裏返す．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目の操作の後で，番号$2$のカードの赤色の面が上になっている確率を求めよ．
(2)$3$回目の操作の後で，赤色の面が上になっているカードが$2$枚である確率を求めよ．
(3)$n$回目の操作の後で，すべてのカードの赤色の面が上になっているとする．このような$n$の最小値を求めよ．

白球$6$個と黒球$4$個がある．はじめに，白球$6$個を横$1$列に並べる．次に，

$1$から$6$の目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを$1$つ投げて，出た目の数が$a$であれば，並んでいる球の左から$a$番目の球の左に黒球を$1$個入れる

という操作を$4$回繰り返す．例えば，

$1$回目に$1$の目，$2$回目に$5$の目，$3$回目に$5$の目，$4$回目に$2$の目

が出た場合の球の並びの変化は下の図のようになる．
（図は省略）
最終的な$10$個の球の並びにおいて，一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を$k$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$k=0$である確率を求めよ．
(2)$k=1$である確率を求めよ．
(3)$k$の期待値を求めよ．

座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．

(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．

以下の問いに答えよ．

(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．

座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．

(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．

以下の問いに答えよ．

(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．