「くり返し」について
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私立 金沢工業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，
$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$
である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，
$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$
である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問$r>0$とする．座標平面上の原点以外の点に対し，$2$種類の移動$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を以下のように定める．
移動$\mathrm{A} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$\displaystyle \left( r \cos \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right),\ r \sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right) \right)$に動く．
移動$\mathrm{B} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$((r+1) \cos \theta,\ (r+1) \sin \theta)$に動く．
（図は省略）
動点$\mathrm{K}$は点$(1,\ 0)$を出発し，上記$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれかの移動をくり返しながら座標平面上を動くとする．
(1)動点$\mathrm{K}$が$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$の順に$4$回の移動を行ったとき，到達する点の座標は$([$49$] \sqrt{[$50$]},\ [$51$])$である．
(2)動点$\mathrm{K}$が$7$回の移動で点$(0,\ 5)$に到達する経路は$[$52$][$53$]$通りあり，そのうち点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$を{\bf 通らない}ものは$[$54$][$55$]$通りある．
以下，$p$を$0 \leqq p \leqq 1$を満たす定数とする．動点$\mathrm{K}$は各回の移動において，確率$p$で移動$\mathrm{A}$を，確率$1-p$で移動$\mathrm{B}$を行うものとする．
(3)動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の座標が$(0,\ 3)$である確率$P$を，$p$を用いた式で表しなさい．
(4)動点$\mathrm{K}$が$3$回の移動で到達する点の$y$座標を$a$とするとき，$a^2$の期待値$E$を$p$を用いた式で表しなさい．
移動$\mathrm{A} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$\displaystyle \left( r \cos \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right),\ r \sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right) \right)$に動く．
移動$\mathrm{B} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$((r+1) \cos \theta,\ (r+1) \sin \theta)$に動く．
（図は省略）
動点$\mathrm{K}$は点$(1,\ 0)$を出発し，上記$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれかの移動をくり返しながら座標平面上を動くとする．
(1)動点$\mathrm{K}$が$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$の順に$4$回の移動を行ったとき，到達する点の座標は$([$49$] \sqrt{[$50$]},\ [$51$])$である．
(2)動点$\mathrm{K}$が$7$回の移動で点$(0,\ 5)$に到達する経路は$[$52$][$53$]$通りあり，そのうち点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$を{\bf 通らない}ものは$[$54$][$55$]$通りある．
以下，$p$を$0 \leqq p \leqq 1$を満たす定数とする．動点$\mathrm{K}$は各回の移動において，確率$p$で移動$\mathrm{A}$を，確率$1-p$で移動$\mathrm{B}$を行うものとする．
(3)動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の座標が$(0,\ 3)$である確率$P$を，$p$を用いた式で表しなさい．
(4)動点$\mathrm{K}$が$3$回の移動で到達する点の$y$座標を$a$とするとき，$a^2$の期待値$E$を$p$を用いた式で表しなさい．
国立 滋賀大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$において辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_1 \mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$とする．次に，$\triangle \mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$において辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_3$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$とする．これをくり返して，$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$において辺$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{O}_n$，$\mathrm{O}_n \mathrm{A}_n$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_{n+1}$，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{B}_1}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 福井大学 2013年 第1問$2$つのさいころを同時に投げることをくり返し，投げるのを止めた時点までの出た目の総和が得点となるゲームを行う．さいころは何回投げてもよいし，途中で投げるのを止めてもよいが，$2$つのさいころで同じ目が出た場合は得点は$0$点となり，以降さいころを投げることもできなくなる．例えば，下の得点表において，$\mathrm{A}$君は$2$回で投げるのを止めて$18$点，$\mathrm{B}$君は$3$回目で「$6$と$6$」を出してしまったので$0$点となる．$\mathrm{C}$君は$1$回さいころを投げたところである．以下の問いに答えよ．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$君 & $\mathrm{B}$君 & $\mathrm{C}$君 \\ \hline
$1$回目 & $3$と$6$ & $1$と$3$ & $5$と$6$ \\
$2$回目 & $4$と$5$ & $4$と$6$ & \\
$3$回目 & 止 & $6$と$6$ & \\ \hline
得点 & $18$ & $0$ & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$2$つのさいころを$1$回だけ投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(2)$\mathrm{C}$君がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(3)これまでに出した目の合計が$x$である人がいる．この人がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの得点の期待値$y$を，$x$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた$y$について，$y<x$となる$x$の範囲を求めよ．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$君 & $\mathrm{B}$君 & $\mathrm{C}$君 \\ \hline
$1$回目 & $3$と$6$ & $1$と$3$ & $5$と$6$ \\
$2$回目 & $4$と$5$ & $4$と$6$ & \\
$3$回目 & 止 & $6$と$6$ & \\ \hline
得点 & $18$ & $0$ & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$2$つのさいころを$1$回だけ投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(2)$\mathrm{C}$君がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(3)これまでに出した目の合計が$x$である人がいる．この人がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの得点の期待値$y$を，$x$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた$y$について，$y<x$となる$x$の範囲を求めよ．
私立 岡山理科大学 2013年 第2問$3$種類の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$を，くり返しを許して$1$列に$6$個並べるとき，次のような並べ方はそれぞれ何通りあるか．
(1)$\mathrm{O}$が含まれないように並べる．
(2)$\mathrm{O}$が$2$個以上含まれるように並べる．
(3)$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$がいずれも$2$個ずつ含まれるように並べる．
(4)どの連続する$3$文字も「$\mathrm{OUS}$」とならないように並べる．
(1)$\mathrm{O}$が含まれないように並べる．
(2)$\mathrm{O}$が$2$個以上含まれるように並べる．
(3)$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$がいずれも$2$個ずつ含まれるように並べる．
(4)どの連続する$3$文字も「$\mathrm{OUS}$」とならないように並べる．
私立 広島工業大学 2012年 第8問表の出る確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$，裏の出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$の王冠がある．この王冠をくり返し$n$回投げるとき，多くとも$1$回だけ裏の出る確率を$p(n)$とする．
(1)$p(n)$を求めよ．
(2)$p(n+1)<p(n)$を示せ．
(3)$p(n) \leqq 0.2$となるような$n$の最小値を求めよ．
(1)$p(n)$を求めよ．
(2)$p(n+1)<p(n)$を示せ．
(3)$p(n) \leqq 0.2$となるような$n$の最小値を求めよ．