「くり返」について
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私立 産業医科大学 2013年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[ ]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[ ]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[ ]$である．また，そのときの$s$の値は$[ ]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[ ]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[ ]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[ ]$である．
(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[ ]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[ ]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[ ]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[ ]$である．また，そのときの$s$の値は$[ ]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[ ]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[ ]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[ ]$である．
私立 東京理科大学 2012年 第3問数直線上に動点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げるという試行により$\mathrm{P}$を次の規則にしたがって，数直線上を移動させる．
$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．
最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．
(1)試行を$4$回くり返したとき，規則$(\mathrm{A})$が$a$回，規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり，これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである．
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である．また，$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である．
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．
最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．
(1)試行を$4$回くり返したとき，規則$(\mathrm{A})$が$a$回，規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり，これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである．
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である．また，$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である．
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
国立 名古屋大学 2011年 第2問$A_0 = \biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．整数$n \geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．
「数字の組$(1,\ 1)$，$(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする．」
この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に，$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ．
(3)$p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．整数$n \geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．
「数字の組$(1,\ 1)$，$(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする．」
この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に，$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ．
(3)$p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
私立 愛知工業大学 2011年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[ ]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[ ]$であり，$a_n=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[ ]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[ ]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[ ]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[ ]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[ ]$であり，余りは$[ ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[ ]$である．
(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[ ]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[ ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[ ]$であり，$a_n=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[ ]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[ ]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[ ]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[ ]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[ ]$であり，余りは$[ ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[ ]$である．
国立 名古屋大学 2010年 第3問はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
国立 名古屋大学 2010年 第3問はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．