投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを$1$枚用意し，次のように左から順に文字を書く．

コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．

(1)$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する．数直線上に石を置き，この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し，裏が出れば数直線上で座標$1$の点に関して対称な点に石を移動する．

(1)石が座標$x$の点にあるとする．$2$回硬貨を投げたとき，石が座標$x$の点にある確率を求めよ．
(2)石が原点にあるとする．$n$を自然数とし，$2n$回硬貨を投げたとき，石が座標$2n-2$の点にある確率を求めよ．

投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する．数直線上に石を置き，この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し，裏が出れば数直線上で座標$1$の点に関して対称な点に石を移動する．

(1)石が座標$x$の点にあるとする．$2$回硬貨を投げたとき，石が座標$x$の点にある確率を求めよ．
(2)石が原点にあるとする．$n$を自然数とし，$2n$回硬貨を投げたとき，石が座標$2n$の点にある確率を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[　]$または$[　]$（ただし$[　]<[　]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[　]$または$[][]$である．