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私立 慶應義塾大学 2016年 第2問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
三角形$\mathrm{ABC}$の頂点上に置かれた点$\mathrm{P}$に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{waku}[操作$\mathrm{T}$]
\mon[$(\mathrm{T}1)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$上に置かれているときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$上に移す．
\mon[$(\mathrm{T}2)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$上に置かれているときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$上に移す．
\mon[$(\mathrm{T}3)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$上に置かれているときは，必ず頂点$\mathrm{A}$上に移す．
\end{waku}
以下$n,\ m$を自然数とし，点$\mathrm{P}$を頂点$\mathrm{A}$上に置いて，操作$\mathrm{T}$を繰り返し行う．操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$上に置かれている確率を$a_n$，頂点$\mathrm{B}$上に置かれている確率を$b_n$，頂点$\mathrm{C}$上に置かれている確率を$c_n$とする．
(1)$n \geqq 2$のとき$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$で表すと
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_n=[あ]a_{n-1}+[い]c_{n-1} \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
b_n=[う]a_{n-1}+[え]b_{n-1} \phantom{\frac{1}{1}} \\
c_n=[お]b_{n-1}+[か]c_{n-1} \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
\end{array} \right. \]
である．
(2)$(1)$より$a_n,\ b_n$を求めると，$a_{2m-1}=[き]$，$b_{2m-1}=[く]$であり，$a_{2m}=[け]$，$b_{2m}=[こ]$である．
(3)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき初めて点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$上に置かれる確率を$d_n$とすると，$d_n=[さ]$である．
(4)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の上に置かれ，かつそれまでに$1$回だけ頂点$\mathrm{C}$上に置かれていた確率を$e_n$とすると，$e_n=[し]$である．
三角形$\mathrm{ABC}$の頂点上に置かれた点$\mathrm{P}$に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{waku}[操作$\mathrm{T}$]
\mon[$(\mathrm{T}1)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$上に置かれているときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$上に移す．
\mon[$(\mathrm{T}2)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$上に置かれているときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$上に移す．
\mon[$(\mathrm{T}3)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$上に置かれているときは，必ず頂点$\mathrm{A}$上に移す．
\end{waku}
以下$n,\ m$を自然数とし，点$\mathrm{P}$を頂点$\mathrm{A}$上に置いて，操作$\mathrm{T}$を繰り返し行う．操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$上に置かれている確率を$a_n$，頂点$\mathrm{B}$上に置かれている確率を$b_n$，頂点$\mathrm{C}$上に置かれている確率を$c_n$とする．
(1)$n \geqq 2$のとき$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$で表すと
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_n=[あ]a_{n-1}+[い]c_{n-1} \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
b_n=[う]a_{n-1}+[え]b_{n-1} \phantom{\frac{1}{1}} \\
c_n=[お]b_{n-1}+[か]c_{n-1} \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
\end{array} \right. \]
である．
(2)$(1)$より$a_n,\ b_n$を求めると，$a_{2m-1}=[き]$，$b_{2m-1}=[く]$であり，$a_{2m}=[け]$，$b_{2m}=[こ]$である．
(3)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき初めて点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$上に置かれる確率を$d_n$とすると，$d_n=[さ]$である．
(4)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の上に置かれ，かつそれまでに$1$回だけ頂点$\mathrm{C}$上に置かれていた確率を$e_n$とすると，$e_n=[し]$である．
国立 大分大学 2014年 第2問正三角形$\mathrm{ABC}$があり，点$\mathrm{X}$は正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点を移動する点である．サイコロを投げて$5$の目が出たとき点$\mathrm{X}$は時計回りに隣の頂点に移動し，$6$の目が出たとき点$\mathrm{X}$は反時計回りに隣の頂点に移動し，それ以外の目が出たとき点$\mathrm{X}$は移動しない．はじめに点$\mathrm{X}$は頂点$\mathrm{A}$にあるとし，サイコロを$n$回投げたとき点$\mathrm{X}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を$P_n$とする．
(1)$P_1,\ P_2,\ P_3$を求めなさい．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表しなさい．
(3)$P_n$を求めなさい．
(1)$P_1,\ P_2,\ P_3$を求めなさい．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表しなさい．
(3)$P_n$を求めなさい．
私立 久留米大学 2014年 第3問$3$つの直線$\ell:ax-y=0$，$m:x-2y-2=0$，$n:x+y-5=0$があり，直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{B}$，直線$m$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とし，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のすべてを通る円を$D$とする．ただし，$a$は実数で$\displaystyle a>\frac{1}{2}$とする．
(1)$\mathrm{BC}$が円$D$の直径となるとき点$\mathrm{A}$の座標は$[$7$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{15}{2}$，かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角であるとき，$a=[$8$]$であり，円$D$の方程式は$[$9$]$となる．
(1)$\mathrm{BC}$が円$D$の直径となるとき点$\mathrm{A}$の座標は$[$7$]$である．
(2)三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{15}{2}$，かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角であるとき，$a=[$8$]$であり，円$D$の方程式は$[$9$]$となる．
国立 福井大学 2010年 第2問表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．
ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$3k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは$k$ポイント新たに獲得する．$(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．
(1)$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．$a_n$を求めよ．
(2)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$0<p<1$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)(1)で求めた$a_n$を$p$の関数と考え，$f_n(p)$と書くとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m f_n \left( \frac{k}{2m} \right) \]
ルールa) \ 駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb) \ 駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc) \ $k$回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは$3k$ポイント新たに獲得し，点Bにいるときは$k$ポイント新たに獲得する．$(k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．
(1)$n$回コインを投げた結果，駒が点Aにいる確率を$a_n$とおく．$a_n$を求めよ．
(2)$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$0<p<1$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n E_k$を$n$と$p$を用いて表せ．
(3)(1)で求めた$a_n$を$p$の関数と考え，$f_n(p)$と書くとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m f_n \left( \frac{k}{2m} \right) \]
公立 名古屋市立大学 2010年 第2問$xy$平面上に，原点Oを中心とする半径1の円$C$があり，点Pは円$C$の周上を動く．また点Pを中心とする半径$r$の円$D$の周上には点Qがある．いま，点Pが点$(1,\ 0)$から円$C$上を反時計回りに動き，同時に点Qは点$(1+r,\ 0)$から円$D$上を時計回りに動く．ただし，点Pは円$C$上で，点Qは円$D$上でともに等速円運動を行い，点Pが円$C$を一周したとき点Qも円$D$を一周する．次の問いに答えよ．
(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．
(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．