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横浜国立大学 国立 横浜国立大学 2010年 第2問
1個のいびつなさいころがある.$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{p}{2}$であり,$5,\ 6$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1-2p}{2}$である.ただし,$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする.このさいころを投げて,$xy$平面上の点Qを次のように動かす.

\mon[(i)] 1または2の目が出たときには,Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす.
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには,Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす.
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには,Qを動かさない.

Qは最初原点$(0,\ 0)$にある.このさいころを$(n+1)$回投げ,Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする.ただし,$n$は自然数とする.次の問いに答えよ.

(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ.
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ.
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ,$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする.得点の期待値を求めよ.
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「いびつ」とは・・・

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