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京都大学 国立 京都大学 2016年 第2問
ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある.「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする.この装置のボタンを$20$回押したとき,$1$回以上「あたり」の出る確率は$36 \, \%$である.$1$回以上「あたり」の出る確率が$90 \, \%$以上となるためには,この装置のボタンを最低何回押せばよいか.必要なら$0.3010<\log_{10}2<0.3011$を用いてよい.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは,
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である.
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき,$\tan \theta$の値は$[カ]$である.
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である.
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち,最小のものは$[ク]$である.
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき,出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある.
(7)食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$がある.食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む.食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で,栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$,栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む.栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上,栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を混合するとき,費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい.

(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき,$S$の値は$[シ]$である.
上智大学 私立 上智大学 2015年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)不定方程式$41x+355y=1$について,$x$が$0<x<100$を満たす整数解は,$x=[ス]$,$y=[セ]$である.
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と,簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ,料金の合計はちょうど$5000$円となった.なお,$1$通あたりの郵便料金は,普通郵便が$82$円,簡易書留が$710$円である.このとき,普通郵便は$[ソ]$通,簡易書留は$[タ]$通である.
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は,$[チ]$であり,そのような組合せは$[ツ]$通りある.
この組合せのうち,$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚,$205$円切手が$[ト]$枚のときである.また,$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚,$205$円切手が$[ニ]$枚のときである.
上智大学 私立 上智大学 2015年 第3問
ある工場では製品$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$を生産している.それらを生産するには,原料$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が必要である.$\mathrm{X}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには,$\mathrm{A}$が$1 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$4 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$1 \, \mathrm{kg}$必要である.$\mathrm{Y}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには,$\mathrm{A}$が$3 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$3 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$2 \, \mathrm{kg}$必要である.原料の在庫はそれぞれ,$\mathrm{A}$が$23 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{B}$が$47 \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{C}$が$c \, \mathrm{kg}$である.また,$\mathrm{X}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$p$万円,$\mathrm{Y}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある.ただし,$c>0$,$p>0$,$q>0$とする.以下,在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする.

(1)$c=17$,$p=2$,$q=5$のとき,$\mathrm{X}$を$[ヌ] \, \mathrm{kg}$,$\mathrm{Y}$を$[ネ] \, \mathrm{kg}$生産すれば,最大の利益を得る.
(2)$c=17$のとき,最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと,

$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{[ノ]}{[ハ]} \quad \text{または} \quad \frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ヘ]}{[ホ]}$

$\displaystyle \text{または} \quad \frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{p}{q}<\frac{[ム]}{[メ]} \quad \text{または} \quad \frac{[モ]}{[ヤ]}<\frac{p}{q}$


である.ただし,$\displaystyle 0<\frac{[ヒ]}{[フ]}<\frac{[マ]}{[ミ]}<\frac{[モ]}{[ヤ]}$とする.

(3)$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと,$c>[ユ]$である.
岩手大学 国立 岩手大学 2012年 第3問
単位時間あたり一定量の水の出るポンプを使ってプールに水を入れることを考える.以下の問いに答えよ.

(1)プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプIを使うと2時間,ポンプIIを使うと3時間かかるとする.IとIIを同時に使うと何時間かかるか.
(2)プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプAを使うと$a$時間,ポンプBを使うと$b$時間かかるとする.AとBを同時に使うと何時間かかるか.
(3)プールに水をいっぱい入れるのに,ポンプC$_1$,ポンプC$_2$いずれを使っても$c$時間かかるとする.C$_1$とC$_2$を同時に使うと,(2)で求めた時間と同じ時間がかかったという.$c$を$a$と$b$を用いて表せ.
(4)$c$を(3)で求めた$a,\ b$の式とするとき,不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq c$が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのは$a=b$の場合に限ることを示せ.
中央大学 私立 中央大学 2012年 第3問
$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市へ移動するには電車による方法とバスによる方法の$2$つがある.$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市までの電車の運賃は$420$円である.また,バスの運賃は$480$円であるが,バス会社は$25$人まで乗車できる団体券も発行している.団体券は前売り制であり,前日までに$1$万円で購入しなければならず,払い戻しはできない.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する.全員が同じ手段でそろって移動し,グループの人数は前日までに確定しているとする.このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上,何人以下のときか.
(2)前問で求めた,電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する.ただし,このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり,その確率は$p$である.このとき,前日にバスの前売り券を買っておくとすると,当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか.また,これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問
別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある.製品の不良は各部品の不良のみに由来し,部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である.製品を製造した後,検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする.以下の問いに答えよ.

(1)合格品(不良が無い製品)が製造される確率を求めよ.
(2)製品を$5$個製造した後,検査を行ったとき,$4$個以上が合格品である確率を求めよ.
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である.また,部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり,部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である.製品$1$個あたりの利益は,以下の式で計算される.

(製品$1$個あたりの利益)$=$(販売価格)$-$(製品$1$個あたりの費用)

製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき,製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ.なお,不良品(不良のある製品)は販売しないため,上式の(販売価格)項が$0$となり負の利益(損失)が生じることを考慮せよ.
(4)新たに工作機械を導入することで,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる.しかし,この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり,これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する.$10,000$個製品を製造するとき,工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か,工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ.ただし,工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする.また,販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする.
青山学院大学 私立 青山学院大学 2011年 第5問
曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある.この容器に,時刻$t$における水の体積が$vt$となるように,単位時間あたり$v$の割合で水を注入する.ただし,$v$は正の定数であり,$y$軸の負の方向を鉛直下方とする.

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ.
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を,$h$を用いて表せ.ただし,$h$は容器の底から測った高さである.
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における,水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2010年 第4問
$a$を$a>1$を満たす定数とする.原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び,点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ.このようにして得られる曲線OPQを,$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える.ただし,OPを含む部分を底面として,水平に置くものとする.次の問いに答えよ.

(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ.
(2)$m$を正の定数とする.この容器に,単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる.ただし,最初は水が全く入っていない状態とする.注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき,底面から水面までの高さを$h$,水面の上昇する速度を$v$とする.$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ.
日本福祉大学 私立 日本福祉大学 2010年 第1問
テーマパークで午前$9$時から入場券を$1$つの窓口で売りはじめ,午前$9$時の時点で窓口の客を除いて$100$人の行列があった.その後,一定の間隔で毎分$20$人の来客があり,午前$9$時$20$分には行列が$300$人となった.ただし,客$1$人あたりの窓口での入場券購入時間は一定とし,行列には窓口で入場券を買っている客は含まないものとする.

(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ.
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして,午前$10$時までに行列を無くすためには,窓口は最低いくつ必要か求めよ.
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「あたり」とは・・・

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