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私立 東京薬科大学 2014年 第4問中心$\mathrm{O}$，半径$1$の円周上に定点$\mathrm{A}$と動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は常に$\angle \mathrm{PAQ}={120}^\circ$を満たしながら動いている．$\angle \mathrm{OAP}=\theta$として次の各問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．
(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．
私立 東京薬科大学 2013年 第4問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$である長方形の紙$\mathrm{ABCD}$が平らな机上に置かれている．$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点とすると，$\angle \mathrm{MCB}={[あい]}^\circ$である．いま，ある直線$\ell$に沿ってこの紙を折り曲げて，頂点$\mathrm{C}$が$\mathrm{M}$に重なるようにする．$\ell$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{CE}$の長さは$\displaystyle \frac{[う] \sqrt{[え]}}{[お]}$である．次に，折り畳まれた紙を開き，折り曲げられた部分が机上に垂直になったところで止める（頂点$\mathrm{C}$は空中にある）．このとき，$\mathrm{AC}=[か]$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[き]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[く]$となる．