首都大学東京
2013年 理系 第3問
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![原点をOとする座標平面で,関数y=\sqrt{x^2-1}(x≧1)のグラフをCとする.また,t>1を満たす実数tに対し,直線x+y=tとCとの交点をP,直線x+y=tとx軸との交点をQとする.以下の問いに答えなさい.(1)線分PQの長さf(t)を求めなさい.(2)次の極限値を求めなさい.\lim_{n→∞}Σ_{k=1}^nf(1+\frac{k(t-1)}{n})\frac{t-1}{√2n}(3)線分OP,x軸およびCで囲まれる図形の面積をSとする.Sを用いて点Pの座標を表しなさい.](./thumb/188/1487/2013_3.png)
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で,関数$y=\sqrt{x^2-1} \ \ (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする.また,$t>1$を満たす実数$t$に対し,直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$,直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする.以下の問いに答えなさい.
(1) 線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい.
(2) 次の極限値を求めなさい. \[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3) 線分$\mathrm{OP}$,$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい.
(1) 線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい.
(2) 次の極限値を求めなさい. \[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3) 線分$\mathrm{OP}$,$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい.
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