長崎大学
2011年 文系 第4問
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![次の問いに答えよ.(1)関係式a_1=1,na_{n+1}-(n+1)a_n=1(n=1,2,・・・)によって定義される数列{a_n}の一般項を求めたい.b_n=\frac{a_n}{n}(n=1,2,・・・)とおいて数列{b_n}の一般項を求めることにより,a_nを求めよ.(2)x≠1のとき,等比数列の和の公式Σ_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1}の両辺をxで微分せよ.その結果を利用して,Σ_{k=1}^{n-1}kx^kを求めよ.(3)p≠1のとき,関係式c_1=0,\frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1}(n=1,2,・・・)によって定義される数列{c_n}の一般項を求めよ.](./thumb/713/2938/2011_4.png)
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次の問いに答えよ.
(1) 関係式 \[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい.$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより,$a_n$を求めよ.
(2) $x \neq 1$のとき,等比数列の和の公式 \[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \] の両辺を$x$で微分せよ.その結果を利用して,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ.
(3) $p \neq 1$のとき,関係式 \[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
(1) 関係式 \[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい.$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより,$a_n$を求めよ.
(2) $x \neq 1$のとき,等比数列の和の公式 \[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \] の両辺を$x$で微分せよ.その結果を利用して,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ.
(3) $p \neq 1$のとき,関係式 \[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ.
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