熊本大学
2011年 理系 第2問
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![平行六面体OADB-CEGFにおいて,辺OAの中点をM,辺ADを2:3に内分する点をN,辺DGを1:2に内分する点をLとする.また,辺OCをk:1-k(0<k<1)に内分する点をKとする.このとき,以下の問いに答えよ.(1)ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとするとき,ベクトルMN,ベクトルML,ベクトルMKをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)3点M,N,Kの定める平面上に点Lがあるとき,kの値を求めよ.(3)3点M,N,Kの定める平面が辺GFと交点をもつようなkの値の範囲を求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/721/2975/2011_2.png)
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平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において,辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$,辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$,辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする.また,辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$,$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$,$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 3点$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき,$k$の値を求めよ.
(3) 3点$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ.
\imgc{721_2974_2011_1}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$,$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$,$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 3点$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき,$k$の値を求めよ.
(3) 3点$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ.
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