岩手県立大学
2014年 文系 第4問
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![以下の問いに答えなさい.下図のように,外接円と内接円の中心が同一となる△ABCを考える.この中心をOとし,OA,OB,OCと△ABCの内接円との交点をそれぞれD,E,Fとする.このとき,△ABCの内接円は△DEFの外接円にあたる.すなわち,△ABCの内心が△DEFの外心となっている.(プレビューでは図は省略します)(1)△ABCおよび△DEFがいずれも正三角形であることを示しなさい.(2)△ABCの外接円の半径OAと△DEFの外接円の半径ODとの長さの比を求めなさい.(3)ここで,改めて,△ABCを(△ABC)_1,△DEFを(△ABC)_2のように表し,一辺の長さがaである(△ABC)_1の内接円をもとに(△ABC)_2を描き,この(△ABC)_2の内接円をもとに(△ABC)_3を描くということを繰り返していく.このようにして,(△ABC)_nを描いたとき,(△ABC)_nの一辺の長さをaを用いて表しなさい.](./thumb/48/2309/2014_4.png)
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以下の問いに答えなさい.
下図のように,外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える.この中心を$\mathrm{O}$とし,$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる.すなわち,$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている. \imgc{48_2309_2014_1}
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい.
(3) ここで,改めて,$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$,$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し,一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き,この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく.このようにして,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい.
下図のように,外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える.この中心を$\mathrm{O}$とし,$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる.すなわち,$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている. \imgc{48_2309_2014_1}
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい.
(3) ここで,改めて,$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$,$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し,一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き,この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく.このようにして,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき,$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい.
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