北海道大学
2015年 文系 第3問
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![平面において,一直線上にない3点O,A,Bがある.Oを通り直線OAと垂直な直線上にOと異なる点Pをとる.Oを通り直線OBと垂直な直線上にOと異なる点Qをとる.ベクトルベクトルOP+ベクトルOQはベクトルABに垂直であるとする.(1)ベクトルOP・ベクトルOB=ベクトルOQ・ベクトルOAを示せ.(2)ベクトルベクトルOA,ベクトルOBのなす角をαとする.ただし,0<α<π/2とする.このときベクトルベクトルOP,ベクトルOQのなす角がπ-αであることを示せ.(3)\frac{|ベクトルOP|}{|ベクトルOA|}=\frac{|ベクトルOQ|}{|ベクトルOB|}を示せ.](./thumb/5/790/2015_3.png)
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平面において,一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がある.$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OA}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる.$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OB}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{Q}$をとる.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$とする.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする.このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi-\alpha$であることを示せ.
(3) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$を示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ.
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$とする.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする.このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi-\alpha$であることを示せ.
(3) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$を示せ.
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