福井大学
2011年 医学部 第4問
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![関数f_n(x)(n=0,1,2,3,・・・)は次の条件を満たしている.(i)f_0(x)=e^{2x}+1(ii)f_n(x)=∫_0^x(n+2t)f_{n-1}(t)dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1}(n=1,2,3,・・・)このとき以下の問いに答えよ.(1)f_1(x),f_2(x)を求めよ.(2)f_n(x)の具体的な形を推測し,その結果を数学的帰納法で証明せよ.(3)Σ_{n=1}^∞{f_n´(1/2)}を求めよ.ただし,0<r<1に対して\lim_{n→∞}nr^n=0となることを用いてよい.](./thumb/366/2546/2011_4.png)
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関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている.
$\tokeiichi$ \ \ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき以下の問いに答えよ.
(1) $f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ.
(2) $f_n(x)$の具体的な形を推測し,その結果を数学的帰納法で証明せよ.
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ.ただし,$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい.
$\tokeiichi$ \ \ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$\tokeini$ \ \ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき以下の問いに答えよ.
(1) $f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ.
(2) $f_n(x)$の具体的な形を推測し,その結果を数学的帰納法で証明せよ.
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ.ただし,$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい.
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