東京工業大学
2015年 理系 第1問
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![数列{a_n}をa_1=5,a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2}(n=1,2,3,・・・)で定める.また数列{b_n}をb_n=\frac{a_1+2a_2+・・・+na_n}{1+2+・・・+n}(n=1,2,3,・・・)と定める.(1)数列{a_n}の一般項を求めよ.(2)すべてのnに対して,不等式b_n≦3+\frac{4}{n+1}が成り立つことを示せ.(3)極限値\lim_{n→∞}b_nを求めよ.](./thumb/185/1164/2015_1.png)
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数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.また数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots +na_n}{1+2+\cdots +n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.
(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2) すべての$n$に対して,不等式$\displaystyle b_n \leqq 3+\frac{4}{n+1}$が成り立つことを示せ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2) すべての$n$に対して,不等式$\displaystyle b_n \leqq 3+\frac{4}{n+1}$が成り立つことを示せ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
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