島根大学
2012年 総合理工(数理・情報システム) 第3問
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$x>0$に対して,$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 関数$f_n(x)$の極値と,極値を与える$x$の値を求めよ.
(2) (1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき,$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ.
(3) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.ただし,必要があれば,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい.
(1) 関数$f_n(x)$の極値と,極値を与える$x$の値を求めよ.
(2) (1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき,$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ.
(3) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.ただし,必要があれば,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい.
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