西南学院大学
2012年 商・国際文化 第3問
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原点を$\mathrm{O}$とし,下図のように$3$つの円$C_1$,$C_2$,$C_3$が互いに接している.$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$,$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$,$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$,$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする.$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき,以下の問に答えよ.
\imgc{695_924_2012_1}
(1) $\displaystyle C_3:(x-\fbox{シ})^2+y^2=\left( \frac{\fbox{ス}-\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}} \right)^2$である.
(2) 弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし,他の弧についても同様とする.また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする.このとき,扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は \[ \frac{\fbox{タ}+\sqrt{\fbox{チ}}}{\fbox{ツテ}}\pi \] であることより,$3$つの弧$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RP}$で囲まれる図形(図の斜線部)の面積は \[ \frac{\sqrt{\fbox{ト}}}{\fbox{ナ}}-\frac{\fbox{ニ}-\fbox{ヌ} \sqrt{\fbox{ネ}}}{\fbox{ノ}} \pi \] である.
(1) $\displaystyle C_3:(x-\fbox{シ})^2+y^2=\left( \frac{\fbox{ス}-\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}} \right)^2$である.
(2) 弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし,他の弧についても同様とする.また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする.このとき,扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は \[ \frac{\fbox{タ}+\sqrt{\fbox{チ}}}{\fbox{ツテ}}\pi \] であることより,$3$つの弧$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RP}$で囲まれる図形(図の斜線部)の面積は \[ \frac{\sqrt{\fbox{ト}}}{\fbox{ナ}}-\frac{\fbox{ニ}-\fbox{ヌ} \sqrt{\fbox{ネ}}}{\fbox{ノ}} \pi \] である.
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