九州大学
2010年 理系 第5問
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![実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array})を考える.平面上の点P(x,y)に対し,点Q(X,Y)を(\begin{array}{c}X\\Y\end{array})=(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array})(\begin{array}{c}x\\y\end{array})により定める.このとき,次の問いに答えよ.(1)Pが放物線y=x^2全体の上を動くとき,Qが放物線9X=2Y^2全体の上を動くという.このとき,行列Aを求めよ.(2)Pが放物線y=x^2全体の上を動くとき,Qは常に円X^2+(Y-1)^2=1の上にあるという.このとき,行列Aを求めよ.(3)Pが放物線y=x^2全体の上を動くとき,Qがある直線L全体の上を動くためのa,b,c,dについての条件を求めよ.また,その条件が成り立っているとき,直線Lの方程式を求めよ.](./thumb/677/1107/2010_5.png)
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実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を考える.平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対し,点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
により定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき,$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという.このとき,行列$A$を求めよ.
(2) $\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき,$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという.このとき,行列$A$を求めよ.
(3) $\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき,$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ.また,その条件が成り立っているとき,直線$L$の方程式を求めよ.
(1) $\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき,$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという.このとき,行列$A$を求めよ.
(2) $\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき,$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという.このとき,行列$A$を求めよ.
(3) $\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき,$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ.また,その条件が成り立っているとき,直線$L$の方程式を求めよ.
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