北里大学
2013年 理学部 第2問
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![次の文中の[ア]~[ホ]にあてはまる最も適切な数を答えなさい.放物線y=-x^2+1をC_1,またy=(x-t)^2+kt+1をC_2とする.ここでk>0とし,tは任意の実数値をとるものとする.tの値が変化するに従い,C_2の頂点の軌跡はある直線になる.この直線をLとする.(1)k=1の場合を考える.このとき,直線Lの方程式は,y=[ア]x+[イ]である.またC_1およびLによって囲まれた部分の面積は\frac{[ウ]}{[エ]}である.(2)k=1/2の場合を考える.C_1とC_2がただ1つの点で接する場合,接点の座標は(x,y)=([オ],[カ])および(x,y)=(\frac{[キ]}{[ク]},\frac{[ケ]}{[コ]})である.C_1とC_2が2つの共有点をもつのは,[サ]<t<[シ]のときである.このとき,それらのx座標をα,β(α<β)とすれば,α+β=[ス]t+[セ],αβ=\frac{[ソ]}{[タ]}t^2+\frac{[チ]}{[ツ]}t+[テ]である.また,C_1とC_2によって囲まれた部分の面積S(t)は,S(t)=\frac{1}{[ト]}([ナ]t^2+[ニ]t+[ヌ])^p, ただし p=\frac{[ネ]}{[ノ]}である.この面積はt=\frac{[ハ]}{[ヒ]}のとき最大値\frac{[フ]}{[ヘ][ホ]}をとる.](./thumb/198/2285/2013_2.png)
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次の文中の$\fbox{ア}$~$\fbox{ホ}$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.
放物線$y=-x^2+1$を$C_1$,また$y=(x-t)^2+kt+1$を$C_2$とする.ここで$k>0$とし,$t$は任意の実数値をとるものとする.$t$の値が変化するに従い,$C_2$の頂点の軌跡はある直線になる.この直線を$L$とする.
(1) $k=1$の場合を考える.このとき,直線$L$の方程式は,$y=\fbox{ア}x+\fbox{イ}$である.また$C_1$および$L$によって囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である.
(2) $\displaystyle k=\frac{1}{2}$の場合を考える.$C_1$と$C_2$がただ$1$つの点で接する場合,接点の座標は \[ (x,\ y)=(\fbox{オ},\ \fbox{カ}) \] および \[ (x,\ y)=\left( \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}},\ \frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \right) \] である.
$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつのは,$\fbox{サ}<t<\fbox{シ}$のときである.このとき,それらの$x$座標を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とすれば, \[ \alpha+\beta=\fbox{ス}t+\fbox{セ},\quad \alpha\beta=\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}t^2+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}t+\fbox{テ} \] である.また,$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積$S(t)$は, \[ S(t)=\frac{1}{\fbox{ト}} (\fbox{ナ}t^2+\fbox{ニ}t+\fbox{ヌ})^p,\quad \text{ただし} p=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \] である.この面積は$\displaystyle t=\frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}$のとき最大値$\displaystyle \frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}\fbox{ホ}}$をとる.
放物線$y=-x^2+1$を$C_1$,また$y=(x-t)^2+kt+1$を$C_2$とする.ここで$k>0$とし,$t$は任意の実数値をとるものとする.$t$の値が変化するに従い,$C_2$の頂点の軌跡はある直線になる.この直線を$L$とする.
(1) $k=1$の場合を考える.このとき,直線$L$の方程式は,$y=\fbox{ア}x+\fbox{イ}$である.また$C_1$および$L$によって囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$である.
(2) $\displaystyle k=\frac{1}{2}$の場合を考える.$C_1$と$C_2$がただ$1$つの点で接する場合,接点の座標は \[ (x,\ y)=(\fbox{オ},\ \fbox{カ}) \] および \[ (x,\ y)=\left( \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}},\ \frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \right) \] である.
$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつのは,$\fbox{サ}<t<\fbox{シ}$のときである.このとき,それらの$x$座標を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とすれば, \[ \alpha+\beta=\fbox{ス}t+\fbox{セ},\quad \alpha\beta=\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}t^2+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}t+\fbox{テ} \] である.また,$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積$S(t)$は, \[ S(t)=\frac{1}{\fbox{ト}} (\fbox{ナ}t^2+\fbox{ニ}t+\fbox{ヌ})^p,\quad \text{ただし} p=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \] である.この面積は$\displaystyle t=\frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}$のとき最大値$\displaystyle \frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}\fbox{ホ}}$をとる.
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