茨城大学
2013年 理学部 第3問
3
![θ=\frac{2π}{3}とし,A=(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})とおく.また,2次の単位行列をEで表す.以下の各問に答えよ.(1)A^3=Eを示せ.(2)rを実数とする.自然数kに対して,行列(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}の(1,1)成分をa_kとおくとき,a_kをrを用いて表せ.(3)自然数Nに対してx_N=2Σ_{k=0}^Na_kとする.ただしa_kは,k≧1のときは(2)で定めたものとし,k=0のときはa_0=1-1/2r-1/2r^2とおく.-1<r<1のとき,f(r)=\lim_{N→∞}x_Nを求めよ.(4)rが-1<r<1の範囲を動くとき,(3)で定めたf(r)のとりうる値の範囲を求めよ.](./thumb/85/2188/2013_3.png)
3
$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$とし,$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく.また,$2$次の単位行列を$E$で表す.以下の各問に答えよ.
(1) $A^3=E$を示せ.
(2) $r$を実数とする.自然数$k$に対して,行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき,$a_k$を$r$を用いて表せ.
(3) 自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする.ただし$a_k$は,$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし,$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく.$-1<r<1$のとき,$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ.
(4) $r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき,(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ.
(1) $A^3=E$を示せ.
(2) $r$を実数とする.自然数$k$に対して,行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき,$a_k$を$r$を用いて表せ.
(3) 自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする.ただし$a_k$は,$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし,$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく.$-1<r<1$のとき,$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ.
(4) $r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき,(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/562/2718/2012_3s.png)
![](./thumb/665/2850/2013_2s.png)
![](./thumb/558/1534/2010_5s.png)
![](./thumb/676/222/2010_4s.png)
![](./thumb/366/2546/2014_3s.png)
![](./thumb/466/2727/2010_1s.png)
![](./thumb/352/2294/2014_4s.png)
![](./thumb/351/2519/2014_2s.png)
![](./thumb/72/2151/2011_3s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。