横浜国立大学
2014年 経済 第3問
3
![rを0＜r＜1をみたす定数とする．数列{a_n}に対してS_n=Σ_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}r^{a_k}(n=1,2,3,・・・)とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数xに対して，[x]はl≦x＜l+1をみたす整数lを表す．(1)数列{a_n}をa_n=[n/2]で定めるとき，S_{2n}をrとnの式で表せ．(2)数列{a_n}をa_n=[n/3]で定めるとき，S_{3n}をrとnの式で表せ．(3)a_1=0，a_n≦a_{n+1}≦a_n+1(n=1,2,3,・・・)およびS_{2014}=0をみたす数列{a_n}のうち，Σ_{k=1}^{2014}r^{a_k}を最小にする数列{a_n}の第2014項を求め，そのときの最小値をrの式で表せ．](./thumb/306/2008/2014_3.png)
3
$r$を$0<r<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．
(1) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{2} \right]$で定めるとき，$S_{2n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(2) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定めるとき，$S_{3n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(3) $a_1=0$，$a_n \leqq a_{n+1} \leqq a_n+1 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$および$S_{2014}=0$をみたす数列$\{a_n\}$のうち，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2014} r^{a_k}$を最小にする数列$\{a_n\}$の第$2014$項を求め，そのときの最小値を$r$の式で表せ．
(1) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{2} \right]$で定めるとき，$S_{2n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(2) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定めるとき，$S_{3n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(3) $a_1=0$，$a_n \leqq a_{n+1} \leqq a_n+1 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$および$S_{2014}=0$をみたす数列$\{a_n\}$のうち，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2014} r^{a_k}$を最小にする数列$\{a_n\}$の第$2014$項を求め，そのときの最小値を$r$の式で表せ．
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