1個のいびつなさいころがある．$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{p}{2}$であり，$5,\ 6$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1-2p}{2}$である．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．このさいころを投げて，$xy$平面上の点Qを次のように動かす．
[(i)] 1または2の目が出たときには，Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす． [(ii)] 3または4の目が出たときには，Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす． [(iii)] 5または6の目が出たときには，Qを動かさない．
Qは最初原点$(0,\ 0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．
(1) さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ．
(2) さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．
(3) さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ，$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．