横浜国立大学
2013年 理工 第2問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=A$を満たす．行列$B$は
\[ B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right),\quad B^2 \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right) \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1) $a+d,\ ad-bc$を求めよ．
(2) $B$を$a$を用いて表せ．
(3) $c=1$のとき，実数$s,\ t$に対して \[ (sA+tB)^n=x_nA+y_nB \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と表されることを示し，$x_n,\ y_n$を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．
(1) $a+d,\ ad-bc$を求めよ．
(2) $B$を$a$を用いて表せ．
(3) $c=1$のとき，実数$s,\ t$に対して \[ (sA+tB)^n=x_nA+y_nB \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と表されることを示し，$x_n,\ y_n$を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．
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