佐賀大学
2015年 医学部 第1問
1
1
$a,\ b$は定数であり，$0<a<b$とする．定積分
\[ I=\int_0^1 a^{1-t}b^t \, dt \]
について，次の問に答えよ．
(1) $I$を求めよ．
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき， \[ a^{1-t}b^t+a^tb^{1-t} \geqq 2 \sqrt{ab} \] であることを示せ．また，$I>\sqrt{ab}$を示せ．
(3) $0<t<1$とする．$x>1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ． \[ x^t<1+t(x-1) \]
(4) $(3)$の不等式を利用して，$\displaystyle I<\frac{a+b}{2}$を示せ．
(1) $I$を求めよ．
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき， \[ a^{1-t}b^t+a^tb^{1-t} \geqq 2 \sqrt{ab} \] であることを示せ．また，$I>\sqrt{ab}$を示せ．
(3) $0<t<1$とする．$x>1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ． \[ x^t<1+t(x-1) \]
(4) $(3)$の不等式を利用して，$\displaystyle I<\frac{a+b}{2}$を示せ．
つぶやく
類題（関連度順）
コメント（0件）
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。
