富山大学
2012年 薬学部 第3問
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![行列A=\biggl(\begin{array}{cc}0&x\\y&z\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}0&w\\w&0\end{array}\biggr)は次の条件(ア),(イ)を満たしているとする.\mon[(ア)]A^2+A+E=O\mon[(イ)]B^2=Eただし,E=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\biggr)である.(1)x,y,z,wがすべて整数でx<ywを満たすとき,x,y,z,wを求めよ.(2)(1)で求めたx,y,z,wに対して,ベクトル\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)(n=0,1,2,・・・)を次のように定める.\begin{itemize}\biggl(\begin{array}{c}p_0\\q_0\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)が決まったとき,硬貨を投げて表が出れば\biggl(\begin{array}{c}p_{n+1}\\q_{n+1}\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr),裏が出れば\biggl(\begin{array}{c}p_{n+1}\\q_{n+1}\end{array}\biggr)=B\biggl(\begin{array}{c}p_n\\q_n\end{array}\biggr)とする.\end{itemize}このとき,\biggl(\begin{array}{c}p_3\\q_3\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\biggr)となる確率を求めよ.](./thumb/351/2519/2012_3.png)
3
行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア),(イ)を満たしているとする.
[(ア)] $A^2+A+E=O$ [(イ)] $B^2=E$
ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$である.
(1) $x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき,$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ.
(2) (1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して,ベクトル$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める. \begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c} p_0 \\ q_0 \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$が決まったとき,硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$,裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$とする. \end{itemize} このとき,$\biggl( \begin{array}{c} p_3 \\ q_3 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$となる確率を求めよ.
[(ア)] $A^2+A+E=O$ [(イ)] $B^2=E$
ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$である.
(1) $x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき,$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ.
(2) (1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して,ベクトル$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める. \begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c} p_0 \\ q_0 \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$が決まったとき,硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$,裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c} p_{n+1} \\ q_{n+1} \end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \biggr)$とする. \end{itemize} このとき,$\biggl( \begin{array}{c} p_3 \\ q_3 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr)$となる確率を求めよ.
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