東京海洋大学
2013年 海洋科学 第5問
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座標空間における$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{2},\ 1)$,$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$,$\mathrm{R}(0,\ -1,\ \sqrt{2})$について次の問に答えよ.
(1) $\angle \mathrm{AOC}$,$\angle \mathrm{BOC}$,$\angle \mathrm{AOR}$,$\angle \mathrm{BOR}$を求めよ.
(2) $4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ.
(3) $2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は正の実数$s,\ t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする.$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき,四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(1) $\angle \mathrm{AOC}$,$\angle \mathrm{BOC}$,$\angle \mathrm{AOR}$,$\angle \mathrm{BOR}$を求めよ.
(2) $4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ.
(3) $2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は正の実数$s,\ t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする.$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき,四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
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