慶應義塾大学
2016年 総合政策学部 第1問
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\begin{mawarikomi}{36mm}{
\begin{zahyou*}[ul=1mm](-5,30)(0,35)
\def\C{(0,0)}%
\Drawline{(0,0)(30,0)}%
\Drawline{(0,10)(30,10)}%
\Drawline{(0,20)(30,20)}%
\Drawline{(0,30)(30,30)}%
\Drawline{(0,0)(0,30)}%
\Drawline{(10,0)(10,30)}%
\Drawline{(20,0)(20,30)}%
\Drawline{(30,0)(30,30)}%
\mathrmretu*{A(10,-13.75);B(10,13.75);C(-17,0)}%
\mathrmretu*{A(10,13.75);B(17,0);C(-17,0)}%
\emathPut{(0,35)}{例:$4 \times 4$の場合}
\Kuromaru[8pt]{(10,0)}
\Kuromaru[8pt]{(0,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,30)}
\mathrmretu*{A(-17,0);B(17,0)}%
\end{zahyou*}
}
座標平面の格子点$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n,\ 1 \leqq j \leqq n \}$に$n$個の碁石を置く.ここで,$n$は正の整数とする.ただし,これらの碁石は同じ種類であり,互いに区別できない.また,格子点には高々$1$つの碁石しか置けないものとする.各$i$に対して,$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq j \leqq n \}$を第$i$列,各$j$に対して$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n \}$を第$j$行と呼ぶ.
\end{mawarikomi}
(1) $n$個の碁石を置くすべての場合の配置の総数を$A_n$とすると \[ A_1=1,\ \ A_2=6,\ \ A_3=\fbox{$1$}\fbox{$2$},\ \ A_4=\kakkofour{$3$}{$4$}{$5$}{$6$},\ \ \cdots \] である.
(2) $n$個の碁石を置くとき,どの行およびどの列にも$1$個の碁石を置く場合の配置の総数を$B_n$とすると \[ B_1=1,\ \ B_2=2,\ \ B_3=\fbox{$7$}\fbox{$8$},\ \ B_4=\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$},\ \ \cdots \] である.
(3) $n$個の碁石を置くとき,どの行およびどの列にも高々$2$個の碁石を置く場合の配置の総数を$C_n$とすると \[ C_1=1,\ \ C_2=6,\ \ C_3=\fbox{$13$}\fbox{$14$},\ \ C_4=\kakkofour{$15$}{$16$}{$17$}{$18$},\ \ \cdots \] である.
(1) $n$個の碁石を置くすべての場合の配置の総数を$A_n$とすると \[ A_1=1,\ \ A_2=6,\ \ A_3=\fbox{$1$}\fbox{$2$},\ \ A_4=\kakkofour{$3$}{$4$}{$5$}{$6$},\ \ \cdots \] である.
(2) $n$個の碁石を置くとき,どの行およびどの列にも$1$個の碁石を置く場合の配置の総数を$B_n$とすると \[ B_1=1,\ \ B_2=2,\ \ B_3=\fbox{$7$}\fbox{$8$},\ \ B_4=\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$},\ \ \cdots \] である.
(3) $n$個の碁石を置くとき,どの行およびどの列にも高々$2$個の碁石を置く場合の配置の総数を$C_n$とすると \[ C_1=1,\ \ C_2=6,\ \ C_3=\fbox{$13$}\fbox{$14$},\ \ C_4=\kakkofour{$15$}{$16$}{$17$}{$18$},\ \ \cdots \] である.
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