九州大学
2012年 理系 第2問
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![2次の正方行列A,Bはそれぞれ\begin{eqnarray}A(\begin{array}{r}-3\\5\end{array})=(\begin{array}{r}0\\-1\end{array}),&&A(\begin{array}{r}7\\-9\end{array})=(\begin{array}{r}8\\-11\end{array}),\nonumber\\B(\begin{array}{r}0\\-1\end{array})=(\begin{array}{r}-5\\6\end{array}),&&B(\begin{array}{r}8\\-11\end{array})=(\begin{array}{r}-7\\10\end{array})\nonumber\end{eqnarray}をみたすものとする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,Eは2次の単位行列を表すものとする.(1)行列A,B,A^2,B^2を求めよ.(2)(AB)^3=Eであることを示せ.(3)行列Aから始めて,BとAを交互に右から掛けて得られる行列A,AB,ABA,ABAB,・・・および行列Bから始めて,AとBを交互に右から掛けて得られる行列B,BA,BAB,BABA,・・・を考える.これらの行列の内で,相異なるものをすべて成分を用いて表せ.](./thumb/677/1102/2012_2.png)
2
$2$次の正方行列$A,\ B$はそれぞれ
\begin{eqnarray}
A \left( \begin{array}{r}
-3 \\
5
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right), & & \quad A \left( \begin{array}{r}
7 \\
-9
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right), \nonumber \\
B \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-5 \\
6
\end{array} \right), & & \quad B \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-7 \\
10
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたすものとする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$E$は$2$次の単位行列を表すものとする.
(1) 行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ.
(2) $(AB)^3 = E$であることを示せ.
(3) 行列$A$から始めて,$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \] および行列$B$から始めて,$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \] を考える.これらの行列の内で,相異なるものをすべて成分を用いて表せ.
(1) 行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ.
(2) $(AB)^3 = E$であることを示せ.
(3) 行列$A$から始めて,$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \] および行列$B$から始めて,$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \] を考える.これらの行列の内で,相異なるものをすべて成分を用いて表せ.
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