茨城大学
2015年 理学部 第1問
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$f(x)=2xe^{-x}$とおく.ただし,$e$は自然対数の底とする.以下の各問に答えよ.
(1) $0 \leqq x \leqq 3$の範囲で,関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸,変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.
(2) 正の実数$a$に対して,$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$,$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく.$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ.
(4) 曲線$y=f(x)$と,$3$直線$x=0$,$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を,直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする.$t$を動かしたとき,$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
(1) $0 \leqq x \leqq 3$の範囲で,関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸,変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.
(2) 正の実数$a$に対して,$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$,$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく.$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ.
(4) 曲線$y=f(x)$と,$3$直線$x=0$,$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を,直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする.$t$を動かしたとき,$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ.
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