久留米大学
2014年 医学部 第5問
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![半径1の円に内接する正n角形をN_1^{(n)},N_1^{(n)}に内接する円をC_1^{(n)}とし,さらにC_1^{(n)}に内接する正n角形をN_2^{(n)},N_2^{(n)}に内接する円をC_2^{(n)}とする.同様にしてN_3^{(n)},C_3^{(n)},N_4^{(n)},C_4^{(n)},・・・,N_k^{(n)},C_k^{(n)}を定義する.このとき,円C_k^{(n)}の半径R_k^{(n)}と正n角形N_k^{(n)}の面積S_k^{(n)}は,それぞれnとkを用いてR_k^{(n)}=[12],S_k^{(n)}=[13]と表すことができる.また,S_m=Σ_{k=1}^mS_k^{(n)}とおいたとき,\lim_{m→∞}S_m=[14]である.ここで,n,kは正の整数とする.](./thumb/690/1920/2014_5.png)
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半径$1$の円に内接する正$n$角形を$N_1^{(n)}$,$N_1^{(n)}$に内接する円を$C_1^{(n)}$とし,さらに$C_1^{(n)}$に内接する正$n$角形を$N_2^{(n)}$,$N_2^{(n)}$に内接する円を$C_2^{(n)}$とする.同様にして$N_3^{(n)}$,$C_3^{(n)}$,$N_4^{(n)}$,$C_4^{(n)}$,$\cdots$,$N_k^{(n)}$,$C_k^{(n)}$を定義する.このとき,円$C_k^{(n)}$の半径$R_k^{(n)}$と正$n$角形$N_k^{(n)}$の面積$S_k^{(n)}$は,それぞれ$n$と$k$を用いて$R_k^{(n)}=\fbox{$12$}$,$S_k^{(n)}=\fbox{$13$}$と表すことができる.また,$\displaystyle S_m=\sum_{k=1}^m S_k^{(n)}$とおいたとき,$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=\fbox{$14$}$である.ここで,$n,\ k$は正の整数とする.
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