福島大学
2013年 理工 第4問
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$n$を自然数とし，$a_n,\ b_n$を次のようにおく．
\[ a_n=-\int_0^\pi (e^x+e^{-x}) \sin 2nx \, dx,\quad b_n=\int_0^\pi (e^x-e^{-x}) \cos 2nx \, dx \]
以下の問いに答えよ．
(1) $a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2) $\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ． \[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]
(1) $a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2) $\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3) 次の不等式が成り立つことを示せ． \[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]
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