横浜市立大学
2014年 医学部 第3問
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$a$を正の実数とする．放物線$y^2=4ax$上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$をとる．$y_1>0$として，以下の問いに答えよ．
(1) $\alpha>0$として，関数$F(t)$を \[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \] とおく．導関数$F^\prime(t)$を求めよ．
(2) 点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については \[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \] と解釈する（$a>s>0$）．
(1) $\alpha>0$として，関数$F(t)$を \[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \] とおく．導関数$F^\prime(t)$を求めよ．
(2) 点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については \[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \] と解釈する（$a>s>0$）．
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