ある開区間$D$で与えられた関数$f(x)$は，$2$階微分可能で，第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は連続で，更に$f^{\prime\prime}(x)<0$と仮定する．以下の問いに答えよ．
(1) $a_1<a_2<a_3$を満たす$D$の$a_1,\ a_2,\ a_3$に対して \[ \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}>\frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2} \] を示せ．
(2) $x_1,\ x_2$を$D$の実数とする．$0 \leqq \alpha \leqq 1$を満たす$\alpha$に対して \[ f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2) \geqq \alpha f(x_1)+(1-\alpha) f(x_2) \] を示せ．
(3) $x_1,\ x_2,\ x_3$を$D$の実数とする．$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3 \geqq 0$及び$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1$を満たす$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$に対して \[ f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3) \geqq \alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\alpha_3 f(x_3) \] を示せ．
(4) $D=(0,\ \infty)$とする．上の議論を用いて，$D$の$x_1,\ x_2,\ x_3$に対して不等式 \[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geqq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \] を示せ．