横浜市立大学
2014年 医学部 第1問
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以下の問いに答えよ．
(1) $a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} x-ay+a^2z=a^4 \\ x-by+b^2z=b^4 \\ x-cy+c^2z=c^4 \end{array} \right. \] を解きたい．その解を基本対称式 \[ \begin{array}{l} A=a+b+c \\ B=ab+bc+ca \\ C=abc \end{array} \] を用いて表せ．
(2) 平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3) 行列$A$を \setstretch{2.5} \[ A=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\ \displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \end{array} \right) \] \setstretch{1.4} とおく．このとき，行列の和 \[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \] を，（簡潔な形で）求めよ．
(1) $a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} x-ay+a^2z=a^4 \\ x-by+b^2z=b^4 \\ x-cy+c^2z=c^4 \end{array} \right. \] を解きたい．その解を基本対称式 \[ \begin{array}{l} A=a+b+c \\ B=ab+bc+ca \\ C=abc \end{array} \] を用いて表せ．
(2) 平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3) 行列$A$を \setstretch{2.5} \[ A=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\ \displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \end{array} \right) \] \setstretch{1.4} とおく．このとき，行列の和 \[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \] を，（簡潔な形で）求めよ．
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