行列$A$と$E$を \setstretch{2} \[ A=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle\frac{2}{3} & -\displaystyle\frac{1}{2} \\ \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3} \end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \] \setstretch{1.4} とする．以下の問いに答えよ．
(1) 行列$(E-A)^{-1}$を求めよ．
(2) 零ベクトルでないベクトル$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$に対して \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] とおくとき， \[ \sqrt{X^2+Y^2}=r \sqrt{x^2+y^2} \] をみたす$r$を求めよ．
(3) ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$が与えられたとき，ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)$を次のように定める． \[ \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n$を求めよ．