以下の問いに答えよ．
(1) 関数 \[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \] の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$\fbox{$1$}$となる．
(2) 多項式 \[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \] を因数分解すると$\fbox{$2$}$となる．
(3) $N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として， \[ \begin{array}{lll} (f \ast_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\ &=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x) \end{array} \] とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f \ast_t g)(x)$を計算すると$\fbox{$3$}$となる．
(4) 関係式 \[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \] をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=\fbox{$4$}$となる．$f(0)=\fbox{$5$}$であるから$f(x)=\fbox{$6$}$となる．