横浜市立大学
2012年 医学部 第3問
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$f(x)$を区間$[0,\ \infty )$上の連続関数とする.この区間上の$f(x)$の積分を
\[ \int_0^\infty f(x) \, dx=\lim_{R \to \infty} \int_0^R f(x) \, dx \]
とおく.以下の問いに答えよ.
(1) $\alpha,\ \beta$を正の定数として,積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ.
(2) $a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として,積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を(結果の表示を簡潔にするため) \[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \] とおく.$A,\ B,\ C$を求めよ.
(1) $\alpha,\ \beta$を正の定数として,積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ.
(2) $a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として,積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を(結果の表示を簡潔にするため) \[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \] とおく.$A,\ B,\ C$を求めよ.
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