電気通信大学
2012年 理系 第2問
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区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して,定積分
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える.定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $I$を,$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(2) $c_1$の値を求めよ. \\ 以下では,$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし,その最小値を$I_0$とする.
(3) $t_0$を$c_2$を用いて表せ.また,$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(4) 次の定積分$A,\ B$の値を求めよ. \[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5) $f(x)=x(\pi-x)$のとき,$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ.
(1) $I$を,$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(2) $c_1$の値を求めよ. \\ 以下では,$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし,その最小値を$I_0$とする.
(3) $t_0$を$c_2$を用いて表せ.また,$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ.
(4) 次の定積分$A,\ B$の値を求めよ. \[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5) $f(x)=x(\pi-x)$のとき,$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ.
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