平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3) 平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ． \[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \] また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4) 円$S$の周上の任意の点Qに対して， \[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \] となることを示せ．
(5) 円$S$の周上の任意の点Qに対して， \[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \] の値を求めよ．