同志社大学
2015年 理系全学部日程 第4問
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(選択)$i=\sqrt{-1}$とし,$\overline{z}$は$z$の共役複素数を表すとする.次の問いに答えよ.
[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して,複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ. [$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$($t$は実数)に対して,次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ. \[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \] [$(3)$] 複素数$w_1$に対し,複素数$w_2,\ w_3$を \[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \] によって定める.$w_3$を$w_1$を用いて表せ. [$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して,複素数$z_n \ \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$を \[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める.$z_{2m-1} \ \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ.
[$(1)$] 複素数$z=2+i$に対して,複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i) \overline{z}$の値を求めよ. [$(2)$] 実数$k$と複素数$z=1+ti$($t$は実数)に対して,次の等式が成立する$k,\ t$の組をすべて求めよ. \[ (1+\sqrt{3}i) \overline{z}=kz \] [$(3)$] 複素数$w_1$に対し,複素数$w_2,\ w_3$を \[ w_2=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_1},\quad w_3=(1+\sqrt{3}i) \overline{w_2} \] によって定める.$w_3$を$w_1$を用いて表せ. [$(4)$] 上の$(1)$で求めた$z_1$に対して,複素数$z_n \ \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$を \[ z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i) \overline{z_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める.$z_{2m-1} \ \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$m$を用いて表せ.
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