東京医科歯科大学
2012年 医学部 第1問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定義する.
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=5,\ \ b_1=3, \\
\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
また,自然数$n$について$c_n=a_n^2-b_n^2$とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $c_n$を$n$を用いて表せ.
(2) $k$を自然数とするとき,自然数$\ell$について \[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell,\ \ b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \] が成立することを,$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ.
(3) $n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について \[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \] が成立することを示せ.
(4) $2$以上の自然数$n$について \[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \] が成立することを示せ.
(1) $c_n$を$n$を用いて表せ.
(2) $k$を自然数とするとき,自然数$\ell$について \[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell,\ \ b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \] が成立することを,$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ.
(3) $n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について \[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \] が成立することを示せ.
(4) $2$以上の自然数$n$について \[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \] が成立することを示せ.
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