$y=x^2$を平行移動してできる放物線$C$は点$\mathrm{Q}(1,\ 1)$を通り，その軸の方程式は$x=p$で，$p<1$であるとする．点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$において$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}=(1,\ 1)$で表し，直線$\ell_1,\ \ell_2$の方向ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}=(1,\ m),\ \overrightarrow{b}=(1,\ n)$とする．
(1) 放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ．
(2) $m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ．
(3) $\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ．