山梨大学
2014年 工学部・生命環境（生命工） 第5問
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曲線$C$は媒介変数$t \ \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$によって，$x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$と表される．
(1) $x$は$t$の関数として増加関数であることを示せ．
(2) $0<t<2\pi$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$t$を用いた式で表せ．また，$y$の$x$に関する増減を調べよ．
(3) 不定積分$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$および$\displaystyle \int \cos^3 t \, dt$を求めよ．
(4) 曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
(1) $x$は$t$の関数として増加関数であることを示せ．
(2) $0<t<2\pi$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$t$を用いた式で表せ．また，$y$の$x$に関する増減を調べよ．
(3) 不定積分$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$および$\displaystyle \int \cos^3 t \, dt$を求めよ．
(4) 曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
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