実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．
(1) $b \neq 0$または$c \neq 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ．
(2) 実数$k$が$A \left( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ k \end{array} \right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．
(3) $k$を定数として，$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．
(4) $k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．