山梨大学
2011年 教育人間科学・生命環境（生命工以外） 第3問
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弧度法で表された$\theta$に対し，$M(\theta)=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta \\
2 \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とし，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1$を$C$とする．
(1) $M(\theta)$で表される$1$次変換により$C$上の点は$C$上の点に移ることを示せ．
(2) 弧度法で表された$\alpha,\ \beta$は$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{4}$を満たしているとし，$M(\alpha)$で表される$1$次変換により点$(\cos \beta,\ 2 \sin \beta)$が移される点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$C$で囲まれる部分のうち，原点$\mathrm{O}$を含まない方の面積$S$を求めよ．
(1) $M(\theta)$で表される$1$次変換により$C$上の点は$C$上の点に移ることを示せ．
(2) 弧度法で表された$\alpha,\ \beta$は$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{4}$を満たしているとし，$M(\alpha)$で表される$1$次変換により点$(\cos \beta,\ 2 \sin \beta)$が移される点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$C$で囲まれる部分のうち，原点$\mathrm{O}$を含まない方の面積$S$を求めよ．
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