山梨大学
2011年 教育人間科学・生命環境（生命工以外） 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)実数xに対して[x]をm≦x＜m+1を満たす整数mとする．このとき\lim_{n→∞}\frac{[10^{2n}π]}{10^{2n}}を求めよ．(2)y=log\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}を微分せよ．(3)0＜x＜πにおいてsinx+sin2x=0を満たすxを求めよ．また，定積分∫_0^π|sinx+sin2x|dxを求めよ．(4)Aを2次正方行列とする．A^2-2011A+E=OならばAは逆行列を持つことを示せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．](./thumb/370/2438/2011_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき \[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \] を求めよ．
(2) $\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3) $0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4) $A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(1) 実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき \[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \] を求めよ．
(2) $\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3) $0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4) $A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
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