山梨大学
2013年 工学部・生命環境（生命工） 第4問
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関数$f(x)$を次のとおりに定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ．
(2) $\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$，$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする．このとき，$F(0)$を求めよ．
(3) 関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4) 関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ．
(5) 定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ．
(2) $\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$，$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする．このとき，$F(0)$を求めよ．
(3) 関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4) 関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ．
(5) 定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ．
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