福井大学
2013年 教育地域科学 第2問
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![四面体OABCの各辺の長さをそれぞれAB=√7,BC=3,CA=√5,OA=2,OB=√3,OC=√7とする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき,以下の問いに答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaを求めよ.(2)三角形OABを含む平面をαとし,点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をHとする.このとき,ベクトルOHをベクトルa,ベクトルbで表せ.(3)四面体OABCの体積を求めよ.](./thumb/366/2549/2013_2.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{OC}=\sqrt{7}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) 三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) 三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
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